Question

已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．

（1）如图，当点M与点A重合时，求：
①抛物线的解析式；（4分）
②点N的坐标和线段MN的长；（4分）
（2）抛物线在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）

Answer 1

（1）①②N（，－4），（2）存在。点M的坐标为（2，－1）或（4，3）

解：（1）①∵直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，∴A（，0），B（0，－5）。
当顶点M与点A重合时，∴M（，0）。
∴抛物线的解析式是：，即。
②∵N是直线与在抛物线的交点，
∴，解得或。
∴N（，－4）。
如图，过N作NC⊥x轴，垂足为C。

∵N（，－4），∴C（，0）
∴NC=4．MC=OM－OC=。
∴。
（2）存在。点M的坐标为（2，－1）或（4，3）。
（1）①由直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，求出点A、B的坐标，由顶点M与点A重合，根据二次函数的性质求出顶点解析式。
②联立和，求出点N的坐标，过N作NC⊥x轴，由勾股定理求出线段MN的长。
（2）存在两种情况，△OMN与△AOB相似：
情况1，∠OMN=90⁰，过M作MD⊥x轴，垂足为D。

设M（m，），则OD= m，DM=。
又OA=，OB=5，
则由△OMD∽△BAO得，，即，解得m=2。
∴M（2，－1）。
情况2，

∠ONM=90⁰，若△OMN与△AOB相似，则∠OMN=∠OBN。
∴OM=OB=5。
设M（m，），则解得m=4。
∴M（4，3）。
综上所述，当点M的坐标为（2，－1）或（4，3）时，△OMN与△AOB相似。