Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD=1.25．

（1）求直线AC的解析式．

（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）抛物线y=﹣x2经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处？

Answer 1

【答案】（1） ；（2）P点坐标为（0， ）或（0，﹣）或（0， ）或（0， ）； （3）抛物线y=﹣x2先向右单位，再向上平移单位，才能使得平移后的抛物线过点D和点E．

【解析】试题分析：（1）先确定点和点坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式；
（2）设讨论：当时， 解方程求出，再求出的解析式，从而得到点坐标；当时，易得点的坐标，接着求出的解析式，从而得到点坐标；当CM=CD时, 解方程求出，再确定的解析式，从而得到点坐标；
（3）如图2，作O′H⊥x轴于H,则 设O′(m,1)，利用勾股定理得的,解得当m=2时，求出长得到利用待定系数法求出抛物线解析式为然后利用抛物线的平移变换求解；当时，同样可得抛物线解析式为再利用抛物线的平移变换求解．

试题解析：(1)∵OA=1,OC=2,

∴A(0,1),C(2,0)，

设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A(0,1),C(2,0)代入得解得

∴直线AC的解析式为

(2)存在.

设

当DM=DC时, 解得 (舍去),则,此时MD的解析式为 P点坐标为

当MD=MC时,则M点的坐标为此时MD的解析式为 P点坐标为

当CM=CD时, 解得

则或

此时MD的解析式为或 P点坐标为或

综上所述,P点坐标为或或或;

(3)△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处,如图2,作O′H⊥x轴于H,则

设O′(m,1)，

在中, , 解得

当m=2时,AO′=2,而EO′=EO=EA+1，

,解得

设平移的抛物线解析式为

把代入得解得

∴抛物线解析式为

∴抛物线先向左单位,再向上平移单位，才能使得平移后的抛物线过点D和点E；

当时, ,而EO′=EO=1AE，

解得

同样可得抛物线解析式为

∴抛物线先向右单位,再向上平移单位，才能使得平移后的抛物线过点D和点E.