Question

如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．

(1)求证：△CPB≌△AEB；

(2)求证：PB⊥BE；

(3)若PA∶PB=1∶2，∠APB=135°，求AP∶AE．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以BC=AB． 因为∠CBP=∠ABE，BP=BE，所以△CBP≌△ABE． (2)证明：因为∠CBP=∠ABE，所以∠PBE=∠ABE＋∠ABP=∠CBP＋∠ABP=90°． 所以PB⊥BE． (3)解：连接PE．如图．因为BE=BP，∠PBE=90°，所以∠BPE=45°． 设AP为k，则BP=BE=2k．所以，所以 因为∠BPA=135°，∠BPE=45°，所以∠APE=90°．所以AE=3k，

提示：

本题综合考查了三角形全等、证线段垂直、直角三角形的有关知识，第(3)题结合了勾股定理求线段的长． 由正方形的性质很容易找到△CPB≌△AEB，然后利用全等三角形对应角相等，结合正方形的四个角都是直角利用等量代换证得∠PBE=90°，即有PB⊥BE．