题目内容
如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，过B作FB⊥AB交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=4，⊙O的半径为5，求AC和BF的长．
考点：切线的判定
专题：
分析：（1）由AD平分∠BAC，得到∠1=∠2，而OD=OA，∠2=∠3，所以∠1=∠3，则有OD∥AE，而DE⊥AC，所以OD⊥DE；
（2）过D作DP⊥AB，P为垂足，则DP=DE=3，由⊙O的半径为5，在Rt△OPD中，OD=5，DP=4，得OP=3，则AP=8，再由BF⊥AB，得DP∥FB，有
=
，即可求出BF，
求出AD，求出AE，根据△EDC∽△EAD得出比例式，即可求出AC．
（2）过D作DP⊥AB，P为垂足，则DP=DE=3，由⊙O的半径为5，在Rt△OPD中，OD=5，DP=4，得OP=3，则AP=8，再由BF⊥AB，得DP∥FB，有
| DP |
| FB |
| AP |
| AB |
求出AD，求出AE，根据△EDC∽△EAD得出比例式，即可求出AC．
解答：（1）证明：连OD，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2（等弦对等角），
又∵OD=OA，得∠2=∠3（等角对等边），
∴∠1=∠3（等量代换），
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：过D作DP⊥AB，P为垂足，
∵AD为∠BAC的平分线，DE=4，
∴DP=DE=4，又⊙O的半径为5，
在Rt△OPD中，OD=5，DP=4，得OP=3，则AP=8，
∵BF⊥AB，
∴DP∥FB，
∴
=
，即
=
，
∴BF=5，
在Rt△APD中，由勾股定理得：AD=
=4
，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=
=8，
连接CD，
∵DE切⊙O于D，
∴∠EDC=∠EAD，
∵∠E=∠E，
∴△EDC∽△EAD，
∴
=
，
∴
=
，
∴CE=2，
∴AC=8-2=6．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2（等弦对等角），
又∵OD=OA，得∠2=∠3（等角对等边），
∴∠1=∠3（等量代换），
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：过D作DP⊥AB，P为垂足，
∵AD为∠BAC的平分线，DE=4，
∴DP=DE=4，又⊙O的半径为5，
在Rt△OPD中，OD=5，DP=4，得OP=3，则AP=8，
∵BF⊥AB，
∴DP∥FB，
∴
| DP |
| FB |
| AP |
| AB |
| 4 |
| BF |
| 8 |
| 10 |
∴BF=5，
在Rt△APD中，由勾股定理得：AD=
| 82+42 |
| 5 |
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=
(4
|
连接CD，
∵DE切⊙O于D，
∴∠EDC=∠EAD，
∵∠E=∠E，
∴△EDC∽△EAD，
∴
| DE |
| AE |
| CE |
| DE |
∴
| 4 |
| 8 |
| CE |
| 4 |
∴CE=2，
∴AC=8-2=6．
点评：本题考查了圆的切线的判定方法．经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．同时考查了平行线分线段成比例定理．
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