Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，BA=5，点D在边AC上的一动点，过点D作DE∥AB交边BC于点E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于点F，分别以DE，EF为对角线画矩形CDGE和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF的长度为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

利用勾股定理求得AC=3，设DC=x，则AD=3-x，利用平行线分线段成比例定理求得CE=进而求得BE=4-，然后根据S阴=S矩形CDGE+S矩形HEBF得到S阴=x2-8x+12，根据二次函数的性质即可求得CD，进而求得BE和BF，然后根据勾股定理求得即可．

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，BA=5，

∴AC==3，

设DC=x，则AD=3﹣x．

∵DF∥AB，

∴=，即=，

∴CE=，

∴BE=4﹣．

∵矩形CDGE和矩形HEBF，

∴AD∥BF，

∴四边形ABFD是平行四边形，

∴BF=AD=3﹣x，

则S阴=S矩形CDGE+S矩形HEBF=DCCE+BEBF

=xx+（3﹣x）（4﹣x）=x2﹣8x+12，

∵＞0，

∴当x=﹣=时，有最小值，

∴DC=，有最小值，

∴BE=4﹣×=2，BF=3﹣=，

∴EF==，

即矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF的长度为，

故答案为：．