Question

如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥BC于点F．
（1）请直接写出三条与AC有关的正确结论；
（2）若∠D=30°，AC=2，求圆中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理以及勾股定理直接得出即可；
（2）首先得出圆的半径，进而求出∠BOC的度数，进而求出扇形BOC的面积，再求出△BOC的面积，即可得出答案．

解答：解：（1）AC²=AB²-CB²，AC²=AE²+CE²，AC=AD；

（2）连接CO，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=30°，
∴∠CAO=60°，
∵AO=CO，
∴△ACO是等边三角形，
∴CO=AC=2，
∴BC=

AB2-AC2

=2

3

，
∵BO=2，∠B=30°，
∴FO=1，
∴S_△OCB=

1

2

×FO×BC=

1

2

×1×2

3

=

3

，
∵∠B=30°，
∴∠BOF=60°，
∴∠BOC=120°，
∴S_扇形BOC=

120π×2  2

360

=

4

3

π；
∴圆中阴影部分的面积为：

4

3

π-

3

．

点评：此题主要考查了扇形的面积公式以及三角形面积求法和垂径定理的应用，正确求出扇形面积是解题关键．