题目内容
【题目】如图①，在四边形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）.
（1）∠ABC＋∠ADC＝ °．（用含x，y的代数式表示）
（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由．
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，
①当x＜y时，若x+y=140°，∠DFB=30°，试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．
【答案】（1）360°-x-y；（2）DE⊥BF；（3）①x＝40°，y＝100°；②x=y.
【解析】
（1）利用四边形内角和定理得出答案即可；
（2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出即可；
（3）①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出∠DFB=
y-x=30°，进而得出x，y的值；
②当x=y时，∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在．
（1）∠ABC+∠ADC=360°-x-y；
故答案为：360°-x-y；
（2）如图1，延长DE交BF于G
∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，
∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；
（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM=x+y，
∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，
∴∠CDF+∠CBF=（x+y），
如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB=180°-y，
得∠FBD+∠FDB=180°-y+（x+y）=180°-y+x，
∴∠DFB=y-x=30°，
解方程组：
，
解得：
；
②当x=y时，∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在．
