Question

已知二次函数y=x²+2ax-2．
（1）求证：经过点（0，a）且与x轴平行的直线与该函数的图象总有两个公共点；
（2）该函数和y=-

1

4

x²+（a-3）x+

1

2

的图象都经过x轴上两个不同的点A、B，求a的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）将y=a代入函数解析式，得出b²-4ac的符号进而得出答案；
（2）利用两个函数图象都经过x轴上的两个不同的点A、B，则两个函数图象的对称轴相同，求出即可．

解答：（1）证明：当y=a时，x²+2ax-2=a，x²+2ax-2-a=0．
∵b²-4ac=4（a+

1

2

）²+7＞0，
∴方程x²+2ax-2-a=0有两个不相等的实数根．
即二次函数y=x²+2ax-2的图象与经过点（0，a）且与x轴平行的直线总有两个公共点；

（2）解：∵两个函数图象都经过x轴上的两个不同的点A、B，
∴两个函数图象的对称轴相同．          
即：

-2a

2

=-

a-3

2×(- 1 4 )

，
解得：a=2．

点评：此题主要考查了根的判别式以及二次函数的性质和对称轴公式等知识，利用对称轴公式求出求出是解题关键．