题目内容
观察：1•2•3•4+1=52，
2•3•4•5+1=112，
3•4•5•6+1=192，
…
（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
（2）根据（1），计算2000•2001•2002•2003+1的结果（用一个最简式子表示）．
2•3•4•5+1=112，
3•4•5•6+1=192，
…
（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
（2）根据（1），计算2000•2001•2002•2003+1的结果（用一个最简式子表示）．
（1）对于自然数n，有n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1
=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
=（n2+3n+1）2．
即n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2；
（2）由（1）得，2000×2001×2002×2003+1=（2000×2003+1）2=40060012．
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1
=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
=（n2+3n+1）2．
即n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2；
（2）由（1）得，2000×2001×2002×2003+1=（2000×2003+1）2=40060012．
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