Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于点E，若BC=2，AC=3，则AE•EB=

 

．

Answer 1

分析：首先假设Rt△ABC内切圆P的半径为r，运用勾股定理求得AB的值．从图中可见PE=PN=PM=MC=CN，AE=AM=AC-r=3-r，BE=BN=BC-r=2-r．根据AB=AE+BE，即可求出r的值，因而AE•BE也就确定．

解答：解：设Rt△ABC内切圆P的半径为r．
AB=

AC2+BC2

=

32+22

=

13

AE=AM=AC-r=3-r，BE=BN=BC-r=2-r
AB=AE+BE=（3-r）+（2-r）=5-2r
∴

13

= 5-2r，即r=

5- 13

2

∴AE•BE=（3-r）•（2-r）=（3-

5- 13

2

）•（2-

5- 13

2

）=

13 +1

2

•

13 -1

2

=

13-1

4

=3
故答案为3．

点评：本题考查三角形内切圆与内心、勾股定理、角平分线的性质．解决本题的关键是求得利用图形间的关系，求得内切圆半径r的值．