Question

如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC垂足分别为，E、F，
（1）请你猜想EF和PD有何关系，并证明；
（2）如图②若点P是对角线AC延长线上任意一点，其它条件不变，请根据已知补全图形，并判断（1）中你所猜想的结论还成立吗？（不需要证明）

Answer 1

解：（1）PD与EF垂直且相等；
证明：过P作PM⊥CD，PN⊥AD，
∵AC是正方形对角线，
∴PM=PF，PE=PN，
∵PM⊥CD，PN⊥AD，
∴PNDM为矩形，
∴PN=DM，
∴PE=PN=DM，
∵PM=PF，PE=PN=DM，∠PMD=∠FPE=90°，
∴△PMD≌△FPE，
∴PD=EF，∠PEF=∠PDM，∠DPM=∠EFP，
延长DP与EF相交于G，
∵∠DPM=∠EPG，∠PEF=∠PDM
∴∠EPG+∠PEF=90°，
∴EF⊥PD；
（2）画图，（1）中所猜想的结论仍然成立．