Question

【题目】在平面直角坐标系中，两个形状、大小完全相同的三角板OBC，DEF，按如图所示的位置摆放，O为原点，点B(12，0) ，点B与点D重合，边OB与边DE都在x轴上．其中，∠C=∠DEF=90°，∠OBC=∠F=30°．

（1）如图①，求点C坐标；

（2）现固定三角板DEF，将三角板OBC沿x轴正方向平移，得到△O′B′C′ ，当点O′ 落点D上时停止运动．设三角板平移的距离为x，两个三角板重叠部分的面积为y．求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在（2）条件下，设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，当点M与点N之间的距离最小时，点M的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（1）C (3 ,)；（2） ；（3）M

【解析】

（1）过点C作CG⊥AB于G点，根据B(12，0) ，∠C=∠DEF=90°，∠OBC=∠F=30°，得OB=12， OC=6．根据OG=OCcos60°，CG=OCsin60°求出结果即可得到坐标；

（2）分类讨论：①当时，②当时，根据三角形的面积公式，列出方程可得答案；

（3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，点在上时最短，根据三角形的中位线，可得，的长，根据线段的和差，可得点M的坐标．

解：（1）如图①所示：过点C作CG⊥AB于G点．

∵B(12，0) ，得OB=12，

在Rt△OBC中，由OB=12，∠OBC=30°，得OC=6．

∴∠COB=60°

在Rt△OCG中，OG=OCcos60°=3．

∴CG=OCsin60°=．

∴C (3 ,).

（2）①当0≤x＜6时，如图②所示．

∠GDE=60°，∠GB′D=30°，DB′=x，得

DG=，B′G=，重叠部分的面积为

y=DGB′G=x=

②当6≤x≤12时，如图③所示．

B′D=x，DG=x，B′G=，B′E=x﹣6，

EH=．

重叠部分的面积为y=S△B′DG﹣S△B′EH=DGB′G﹣B′EEH，

即y=x-

化简，得y=；

综上所述： ；

（3）如图5所示，作于点，

点在上时最短，

∵是的中位线，

∴，，

∴，

∴M点坐标为：．