题目内容

如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE--EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=1时，KE=，EN=；
（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？
（3）当点K到达点N时，求出t的值；
（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？

解：（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，PK=1，
∵PE=2，
∴KE=2-1=1，
∵四边形ABCD和PEFG都是矩形，
∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴MP= $\text{[math]}$ ，ME= $\text{[math]}$ ，
∴NE= $\text{[math]}$ ；
故答案为：1； $\text{[math]}$ ；

（2）由（1）并结合题意可得，
AP=t，PM= $\text{[math]}$ t，ME=2- $\text{[math]}$ t，NE= $\text{[math]}$ -t，
∴ $\text{[math]}$ t× $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ （2- $\text{[math]}$ t）×（ $\text{[math]}$ -t），
解得，t= $\text{[math]}$ ；

（3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP，
由（2）得， $\text{[math]}$ -t+2=t，
解得，t= $\text{[math]}$ ；

（4）①当K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，
即，0＜t≤2；
②当点k在EF上时，
则KE=t-2，BP=8-t，
∵△BPK∽△PKE，
∴PK²=BP×KE，PK²=PE²+KE²，
∴4+（t-2）²=（8-t）（t-2），
解得，t=3，t=4；
综上，当0＜t≤2或t=3或t=4时，△PKB是直角三角形．
分析：（1）利用△APM∽△ABC求出PM，然后求出ME，再利用△APM∽△NEM，就可以求出EN．
（2）△APM的面积与△MNE的面积相等，且两个三角形相似，所以，只有两三角形全等面积就相等，表示出三角形的面积，从而求出t值．
（3）（1）已经求出EN的值，根据EN+PE=AP的值，解出t即可．
（4）是直角三角形有两种情况，K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，在FE上的一点时也是直角三角形．利用三角形相似求出t的值．
点评：本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理，本题综合性比较强，考查了学生对于知识的综合运用能力和空间想象能力．