Question

已知，抛物线y=-x²+bx+c，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若直线y=kx+b（k≠0）与抛物线交于点A（

3

2

，m）和B（4，n），求直线的解析式．
（3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G．
①求t的取值范围
②是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）根据题意，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交点为（1，0）和（5，0），
∴

-1+b+c=0 -25+5b+c=0

，
解得

b=6 c=-5

．
∴抛物线的解析式为y=-x²+6x-5；

（2）∵y=-x²+6x-5的图象过A（

3

2

，m）和B（4，n）两点，
∴m=

7

4

，n=3，∴A（

3

2

，

7

4

）和B（4，3），
∵直线y=kx+b（k≠0）过A（

3

2

，

7

4

）和B（4，3）两点
∴

3 2 k+b= 7 4 4k+b=3

，
解得

k= 1 2 b=1

．
∴直线的解析式为y=

1

2

x+1；

（3）①根据题意

t＞ 3 2 t+2＜4

，
解得

3

2

≤t≤2，
②根据题意E（t，

1

2

t+1），F（t+2，

1

2

t+2）
H（t，-t²+6t-5），G（t+2，-t²+2t+3），
∴EH=-t²+

11

2

t-6，FG═-t²+

3

2

t+1，
若EFGH是平行四边形，则EH=FG，即-t²+

11

2

t-6=-t²+

3

2

t+1，
解得：t=

7

4

，
∵t=

7

4

满足

3

2

≤t≤2．
∴存在适当的t值，且t=

7

4

使得EFGH是平行四边形．