Question

如图，⊙O_l和⊙O₂内切于点P，过点P的直线交⊙O_l于点D，交⊙O₂于点E，DA与⊙O₂相切，切点为C．
（1）求证：PC平分∠APD；
（2）求证：PD•PA=PC²+AC•DC；
（3）若PE=3，PA=6，求PC的长．

Answer 1

分析：（1）过P作两圆的公切线PT，即可得出答案；
（2）由AC•DC=PC•CF，PC²+AC•DC=PC²+PC•CF=PC（PC+CF）=PC•PF．即要证PC•PF=PD•PA，由△PDC∽△PFA可得；
（3）由△PCA∽△PEC，得

PC

PE

=

PA

PC

，即PC²=PA•PE，得PC=3

2

．

解答：解：（1）过P作两圆的公切线PT，
根据弦切角定理得：∠PCD=∠PBC
∠PCB=∠PDC
∴∠DPC=∠APC，
∴PC平分∠APD；

（2）∵AC•DC=PC•CF，
∴PC²+AC•DC=PC²+PC•CF=PC（PC+CF）=PC•PF．
∵△PDC∽△PFA，
∴PC•PF=PD•PA，
∴PD•PA=PC²+AC•DC；

（3）∵△PCA∽△PEC，
∴

PC

PE

=

PA

PC

，
即PC²=PA•PE，
∵PE=3，PA=6，
∴PC=3

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、弦切角定理等知识，综合性强，难度较大．