Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足

a-4

+(b-2)2=0，直线y=x交AB于点M．
（1）求直线AB的解析式；
（2）过点M作MC⊥AB交y轴于点C，求点C的坐标；
（3）在直线y=x上是否存在一点D，使得S_△ABD=6？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据非负数的性质可求得a，b的值，利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）先求得点M的坐标，过M点作MN⊥OA于点N，MP⊥OB于点P，由题设可证△MNA≌△MPC，△OMN≌△OMP，利用全等的性质可分别求得CP的长，从而求得点C的坐标；
（3）先假设存在点D，设D（a，a），根据S_△ABD=6，列出关于a方程，若有解则存在，无解则不存在，要注意分两种情况考虑．

解答：解：（1）∵

a-4

+(b-2)2=0
∴a-4=0，b-2=0
即a=4，b=2
∴A（4，0），B（0，2）
设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A、B代入解析式得

4k+b=0 b=2

解得k=-

1

2

，b=2
∴直线AB的解析式为y=-

1

2

x+2；

（2）由

y=- 1 2 x+2 y=x

，得
M（

4

3

，

4

3

)
如图1，过M点作MN⊥OA于点N，MP⊥OB于点P
由点M的坐标可知MN=MP，∠PMC=∠NMA，∠MPC=∠MNA=90°
∴△MNA≌△MPC，△OMN≌△OMP
则CP=AN，OP=ON=

4

3

而CP=AN=OA-ON=

8

3

故OC=

4

3

所以C（0，-

4

3

）；

（3）存在点D．
∵D在y=x上
∴设D（a，a）
①如图2，若D在AB的下方
∵S_△AOB=4，S_△ABD=6
∴D在MO的延长线上
∴S_△AOD+S_△BOD+S_△AOB=S_△ABD
∴

1

2

（AO+BO）|a|+4=6，
∴-

1

2

×6a=2，
解得：a=-

2

3

，
∴D（-

2

3

，-

2

3

）
②若D在AB的上方同理求得D′（

10

3

，

10

3

），即D（-

2

3

，-

2

3

），D′（

10

3

，

10

3

）．

点评：此题主要考查平面直角坐标系中图形的面积的求法和点的坐标在图形中的几何意义．解答此题的关键是会利用交点的坐标特点得到有关的线段之间的关系，灵活运用三角形全等的知识和面积的求法进行解题．