Question

（2012•南岗区一模）已知，⊙0的直径AB=

10

，点C是⊙0上一点，且BC=1，点D是

AB

的中点，则CD=

2

或2

2

．

Answer 1

分析：首先根据题意作出图形，然后连接OD，AC，过点C作CE⊥OD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，易得四边形CEOF是矩形，然后利用三角函数求得DE与CE的长，再利用勾股定理求解，即可求得CD的长；然后分析当D在D′位置时，利用勾股定理即可求得CD′的长．

解答：解：如图，连接OD，AC，过点C作CE⊥OD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
∵点D是

AB

的中点，
∴OD⊥AB，
∴四边形CEOF是矩形，
∴OE=CF，CE=OF，
∵⊙0的直径AB=

10

，
∴∠ACB=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=3
∴在Rt△ABC中，cos∠B=

BC

AB

=

10

10

，sin∠B=

3 10

10

，
在Rt△BCF中，BF=BC•cos∠B=

10

10

，CF=BC•sin∠B=

3 10

10

，
∴OF=

10

2

-

10

10

=

2 10

5

，
∴CE=OF=

2 10

5

，DE=OD-OE=OD-CF=

10

5

，
在Rt△CDE中，CD=

DE2+CE2

=

2

；
当D在D′位置时，
∵都是中点，
∴DD′是直径，
∴∠DCD′=90°，
∴CD′=

DD′2-CD2

=2

2

．
∴CD=

2

或2

2

．
故答案为：

2

或2

2

．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及矩形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．