题目内容

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（ $数学公式$ ， $数学公式$ ）的抛物线交y轴于点C（0，-2），交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．P点是y轴上一动点，Q点是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P点运动到何位置时，△POA与△ABC相似？并求出此时P点的坐标；
（3）当以A、B、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形时，求Q点的坐标．

解：（1）设抛物线为y=a（x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
∵抛物线经过点C（0，-2），
∴-2=a（0- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
a= $\text{[math]}$ ．
∴抛物线为 $\text{[math]}$ ；

（2）在原解析式中，令y=0，则 $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
则点A为（-1，0），点B为（4，0），
则AB=5，AC= $\text{[math]}$ ，BC=2 $\text{[math]}$ ，
∵（ $\text{[math]}$ ）²+（2 $\text{[math]}$ ）²=5²，
∴△ACB是直角三角形，
①设OP的长为x，则有
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得x=2；
②设OP的长为y，则有
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得y= $\text{[math]}$ ；
则P点的坐标为（0，±2），（0，± $\text{[math]}$ ）；

（3）因为以A、B、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形，
所以分三种情况：
①Q点的横坐标为-5，y= $\text{[math]}$ ×（-5）²- $\text{[math]}$ ×（-5）-2=18；
②Q点的横坐标为5，y= $\text{[math]}$ ×5²- $\text{[math]}$ ×5-2=3；
③Q点的横坐标为-1+4=3，y= $\text{[math]}$ ×3²- $\text{[math]}$ ×3-2=-2．
所以Q点的坐标为（-5，18），（5，3），（3，-2）．
分析：（1）可设抛物线的顶点式为y=a（x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，将点C（0，-2）代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，根据两点距离公式计算出AC、AB、BC的长，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，再根据相似三角形的判定和性质得到比例式，求出P点的坐标；
（3）分三种情况：①Q点的横坐标为-5；②Q点的横坐标为5；③Q点的横坐标为-1+4=3；代入抛物线的解析式求出它们的纵坐标，从而求得Q点的坐标．
点评：考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式．同时考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点P和点Q所在位置的各种情况．