Question

【题目】如图，抛物线经过A（），B（），C（）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标；

（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为；

（2）点D的坐标为（-1，-1）．

（3）点H存在．点H坐标为．

【解析】

试题（1）由待定系数法即可得；

由题意可求得直线AC的解析式为．如图，

设D点的横坐标为t（-2＜t＜0），则D点的纵坐标为．过D作y轴的平行线交AC于E．则E点的坐标为．从而可得，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，则可得

，由-2＜t＜0可知当t=-1时，△DAC面积最大，此时点D的坐标为（-1，-1）．

点H存在．

由（1）知，点M的坐标为

如图，假设存在点H，满足

作直线MH交轴于点K（，0），作MN⊥轴于点N． 可得，从而有，从而得点K的坐标为（），得直线MK的解析式为，解方程组，得，．将代入中，解得，由于直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．从而知 抛物线上必存在一点H，使∠AMH＝90， 此时点H坐标为．

试题解析：（1）∵该抛物线过点C（0，2），∴可设该抛物线的解析式为．

将A（-2，0），B（-，0）代入，得，解得：

∴此抛物线的解析式为；

（2）由题意可求得直线AC的解析式为．如图，

设D点的横坐标为t（-2＜t＜0），则D点的纵坐标为．

过D作y轴的平行线交AC于E．∴E点的坐标为．

∴，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，

∴

∵-2＜t＜0

∴当t=-1时，△DAC面积最大，此时点D的坐标为（-1，-1）．

（3）点H存在．

由（1）知，点M的坐标为

如图，假设存在点H，满足

作直线MH交轴于点K（，0），作MN⊥轴于点N．

∵,，∴，

∵，∴，∴，∴

∴，∴，∴点K的坐标为（），所以直线MK的解析式为，∴，把①代入②，化简，得：，＞0．

∴，．将代入中，解得

∴ 直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．

∴ 抛物线上必存在一点H，使∠AMH＝90， 此时点H坐标为．