Question

如图：已知在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的中点．
（1）求证：四边形ADEF是菱形；
（2）若AB=13，BC=10，求四边形ADEF的面积．

Answer 1

（1）证明：∵D、E、F分别为AB、BC、CA上的中点．
∴DEAC，EFAB，
∴四边形ADEF是平行四边形．
又∵AB=AC，
∴DE=EF，
∴平行四边形ADEF的菱形；

（2）如图，连接AE、DF交于点O．
∵四边形ADEF是菱形，
∴AE⊥DF，OA=AE，OD=DF．
∵AD=AB=，DF=BC=5，
∴在直角△ADO中，由勾股定理知OA===6，
∴AE=2OA=12，
∴菱形ADEF的面积=DF•AE=5×12=30，即四边形ADEF的面积是30．
分析：（1）利用三角形中位线定理判定四边形ADEF是菱形；
（2）菱形ADEF的面积等于该菱形两对角线乘积的一半．
点评：本题考查了勾股定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及菱形的判定与性质．菱形是邻边相等的平行四边形．