Question

设k为正整数，证明：
（1）如果k是两个连续正整数的乘积，那么25k+6也是两个连续正整数的乘积；
（2）如果25k+6是两个连续正整数的乘积，那么k也是两个连续正整数的乘积．

Answer 1

证明：（1）设两个连续正整数可表示为x，x+1，那么k=x（x+1），
25k+6，
=25x（x+1）+6，
=25x²+25x+6，
=（5x+2）（5x+3），
∴也是两个连续数的乘积，
∴如果k是两个连续正整数的乘积，那么25k+6也是两个连续正整数的乘积；

（2）设25k+6=m（m+1），m为正整数，
则100k+25=4m（m+1）+1=4m²+4m+1=（2m+1）²=5²×（4k+1），
∴2m+1是5的倍数，且2m+1/5是奇数，
∴设=2x+1（x为正整数），
则4k+1=（）²=（2x+1）²，
∴4k+1=4x²+4x+1，
∴4k=4x²+4x，
∴k=x（x+1），
∴k是连续两个正整数的积．
分析：（1）假设出连续的两个正整数，进而求出两者的积即可；
（2）根据（1）式证明得出原式=（5m+2）（5m+3），进而得出K=m（m+1）．
点评：此题主要考查了因式分解的应用，熟练地应用因式分解是解决问题的关键．