Question

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=9，AB=12．按如图所示方式折叠，使点B、C重合，折痕为DE，连接AE．求AE与CD的长．

Answer 1

分析：在Rt△ABC中由于∠BAC=90°，AC=9，AB=12，所以根据勾股定理可求出BC的长，由折叠可知，ED垂直平分BC，E为BC中点，BD=CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AE的长，设BD=CD=x，则AD=12-x．在Rt△ADC中由AD²+AC ²=CD²即可求出x的值，故可得出结论．

解答：解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=9，AB=12，
由勾股定理得：AB²+AC ²=BC²．
∴BC²=9²+12²=81+144=225=15²，
∴BC=15                             
∵由折叠可知，ED垂直平分BC，
∴E为BC中点，BD=CD
∴AE=

1

2

BC=7.5 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
设BD=CD=x，则AD=12-x．
在Rt△ADC中，
∴AD²+AC ²=CD²  （勾股定理）．           
即9²+（12-x）²=x²，解得x=

75

8

，
∴CD=

75

8

．

点评：本题考查的是图形折叠的性质，熟知图形折叠不变性的性质及勾股定理是解答此题的关键．