Question

【题目】如图，在中，．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动（点不与重合），过点作交折线于点以为边问下作正方形点落在边上设点运动的时间为（秒）．

（1）直接用含的代数式表示线段的长．

（2）当点落在边上时，求的值．

（3）当正方形与重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为（平方单位），求与之间的函数关系式．

（4）点为边的中点，直接写出直线将正方形分成的两部分图形的面积比为时的值．

Answer 1

【答案】（1）当时，．当时，；（2）；（3）当时．；当时．；（4）或

【解析】

（1）需分点Q在AB上和BC上两种情况，结合锐角三角函数即可求得对应的AP的长；

（2）表示出AP，PN，NC，用AB=AP+PN+NC，即可求出；

（3）由（2）知，需分为或两部分讨论；

（4）由PF分正方形面积为1:2的两部分，得出比例关系，使用平行线分线段成比例，计算结果．

（1）作，垂足为D

∵，BC=4，AB=3，

∴AC=5

∵

∴

∴

∴

点Q在AB上时，如图所示

在中，BC=4，AB=3，，

在中，，则（）

当点Q在BC上时，如图所示：

在中，BC=4，AB=3，，

在中，，则（）

综上：当时，．当时，

（不写取值范围不扣分）

（2）当点落在边上时，如图所示

由（1）知，，

在中，

∴AB=AP+PN+NC=解得

（3）由（2）知，正方形与重叠部分图形为四边形时

的取值范围是：或

当时．此时重合部分为正方形PQMN整体，则

当时．如图所示：

∴，

在中，

∴

（4）当时，如图所示：

此时

直线PF将正方形PQMN分成1:2的两部分，即

∴即，

∴

在中，，

∴

作，垂足为H，

则

又

∴

∴，解得

当时，如图所示：

同上可知：

由，得

又

∴，即

又F为BC中点

∴即

∴，解得

综上：或．