题目内容
【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+3
与x轴交于A（﹣3，0），B（9，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，连接PD与BC交于点E．设点P的运动时间为t秒（t＞0）
（1）求抛物线的表达式；
（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）．
②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；
（3）点M为线段BC上一点，在点P，Q运动的过程中，当点E为PD中点时，是否存在点M使得PM+
BM的值最小？若存在，请求出PM+BM的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）P 
，D
；
；（3）存在，故PM+
BM的最小值为
．
【解析】
（1）把A（﹣3，0），B（9，0）两点，代入解析式即可
（2）先求出BC的解析式①把P,Q代入解析式即可解答
②当PQ＝PD时，则DQ中点的纵坐标＝点P的纵坐标，在代入解析式即可
（3）根据点E是PQ的中点，求出点E的坐标，将其代入解析式②即可求出P，作点P关于直线BC的对称点P′，过点P′作P′H⊥x轴、BC于点H、M，过点P作PN⊥y轴于点N，再证明△P′MC≌△PNC（AAS），即可解答
解：（1）将A（﹣3，0），B（9，0）代入y＝ax2+bx+3
，得：
，解得：
，
∴抛物线的表达式为y＝﹣
x2+
x+3①；
（2）由题意得：∠ACO＝∠OBC＝30°，∠ACB＝90°，
将点B、C（0，3）的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣
x+3②；
①点P的坐标为（﹣3+
t，
t），
点Q（9﹣2t，0），将点Q的坐标代入①式并整理得：点D[9﹣2t，
（6t﹣t2）]；
②当PQ＝PD时，则DQ中点的纵坐标＝点P的纵坐标，
即： [（6t﹣t2）]＝t，
解得：t＝
；
（3）点P的坐标为（﹣3+t，t）、点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]，
点E是PQ的中点，则点E[3﹣
t，
t+
（6t﹣t2）]，
将点E的坐标代入②式并整理得：t2﹣6t+9＝0，解得：t＝3，
即点P（﹣
，
）即点P是AC的中点，
作点P关于直线BC的对称点P′，过点P′作P′H⊥x轴、BC于点H、M，过点P作PN⊥y轴于点N，
则MH＝MB，
则此时，PM+BM＝PM+MH＝P′H为最小值，
∵∠ACB＝90°，PC＝P′C，∠P′CM＝∠NCP，∠P′MC＝∠PNC＝90°，
∴△P′MC≌△PNC（AAS），∴MC＝NC＝OC，
OM＝OC＝ ＝P′H，
故PM+BM的最小值为．
