Question

如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是的中点，连接AE、OD，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P．
（1）求∠AOD的度数；
（2）求证：PD是半圆O的切线．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据CO与DO的数量关系，即可得出∠CDO的度数，进而求出∠AOD的度数；
（2）利用点E是的中点，进而求出∠EAB=30°，即可得出∠AFO=90°，即可得出答案．
解答：（1）解：∵AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，
∴2CO=DO，∠DCO=90°，
∴∠CDO=30°，
∴∠AOD=60°；

（2）证明：如图，连接OE，
∵点E是的中点，
∴=，
∵由（1）得∠AOD=60°，
∴∠DOB=120°，
∴∠BOE=60°，
∴∠EAB=30°，
∴∠AFO=90°，
∵DP∥AE，
∴PD⊥OD，
∴直线PD为⊙O的切线．
点评：此题主要考查了垂径定理以及圆周角定理和切线的判定定理等知识，根据已知得出∠AFO=90°是解题关键．