Question

如图，矩形纸片ABCD中，AD=15cm，AB=10cm，点P、Q分别为AB、CD的中点，E、G分别为BC、PQ上的点，将这张纸片沿AE折叠，使点B与点G重合，则△AGE的外接圆的面积为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,矩形的性质,三角形的外接圆与外心

专题：

分析：根据翻折变换的性质可得AG=AB，再根据线段中点的定义可得AP=

1

2

AB，然后求出∠AGP=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PAG=60°，再利用翻折的性质求出∠BAE，解直角三角形求出AE的长度，然后根据圆的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：由翻折的性质得，AG=AB，∠GAE=∠BAE，
∵点P、Q分别为AB、CD的中点，
∴AP=

1

2

AB，
∴AP=

1

2

AG，
∴∠AGP=30°，
∴∠PAG=90°-∠AGP=90°-30°=60°，
∴∠BAE=

1

2

∠PAG=

1

2

×60°=30°，
在Rt△ABE中，AE=AB÷cos30°=10÷

3

2

=

20 3

3

cm，
∴△AGE的外接圆的面积=π（

AE

2

）²=π（

1

2

×

20 3

3

）²=

100

3

πcm²．
故答案为：

100

3

πcm²．

点评：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质以及解直角三角形，熟记各性质是解题的关键，求出∠AGP=30°是解题的突破口为．