题目内容

如图，一次函数y₁=ax+1的图象与y轴交于点A，与反比例函数 $数学公式$ 的图象相交于M（m，3）、N（3，n）两点，△OMN的面积为 $数学公式$ ．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出y₁＞y₂时x的取值范围．

解：（1）∵M（m，3）在反比例y₂= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴3= $\text{[math]}$ ，即m= $\text{[math]}$ ，
∵A（0，1），N（3，n），S△OMN= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ×1×（- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ×1×3= $\text{[math]}$ ，
解得：k=-6，
∴反比例解析式为y₂=- $\text{[math]}$ ；
∴m=-2，即M（-2，3），
代入y₁=ax+1中得：a=1，
∴一次函数解析式为y₁=x+1；

（2）将N（3，n）代入反比例函数解析式得：n=-2，即N（3，-2），
再由M（-2，3），结合图形得：y₁＞y₂时x的取值范围为x＜-2或0＜x＜3．
分析：（1）将M坐标代入反比例解析式表示出m，再由A与N坐标，以及已知三角形MON的面积，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出反比例解析式；将M坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出M坐标，代入一次函数解析式求出a的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）由M与N坐标，以及0，将x轴分为4个范围，找出一次函数图象位于反比例图象上方时的范围即可．
点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，以及一元二次方程的解法，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．