Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析：四边形PECB的周长为PE+EC+CB+BP，其中BC在直角△ABC中运用勾股定理可以求出，BP=AB-AP=10-x，另外两条边均可根据△AEP∽△ABC，借助于比例线段，用含有x的式子表示出来．关键还需求出自变量x的取值范围，这可以令E点运行到C时，求特殊值．

解答：解：∵在△ABC中，∠C=90°AB=10，AC=8，
∴BC=6．
∵EP⊥AB且∠A为公共角，
∴△AEP∽△ABC，
∴

AE

AB

=

AP

AC

=

EP

BC

．
∵AP=x，
∴

AE

10

=

x

8

=

PE

6

，
即AE=

5

4

x，PE=

3

4

x，
∴EC=8-

5

4

x，BP=10-x．
∴y=PE+EC+CB+BP=-

3

2

x+24．
当E与C重合时，CP⊥AB，
∴△APC∽△ACB，
∴CA²=AP•AB，
∴8²=10AP，
AP=

32

5

．
因为P与A不重合，E与C不重合，
所以0＜x＜

32

5

．
即y=-

3

2

x+24(0＜x＜

32

5

)．

点评：本题实际还是考查相似三角形的判定以及一次函数在几何图形中的应用．