Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=-

1

4

x2+bx+c的图象经过点A（4，0）、C（0，2）．
（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点B（-2，0）是否在该函数的图象上；
（2）设所求函数图象的对称轴与x轴交于点D，点E在x轴上，若以点C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，试求点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）将点A（4，0）、C（0，2）的坐标代入次函数y=-

1

4

x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式，再将B（-2，0）坐标代入抛物线的解析式即可知道它是否在该函数的图象上；
（2）先求出D 点坐标，再根据题中已知条件便可求出点E的坐标．

解答：解：（1）点A（4，0）、C（0，2）的坐标代入次函数y=-

1

4

x2+bx+c；
可得

- 1 4 ×16+4b+c=0 c=2

，
解得

b= 1 2 c=2

，
∴二次函数的解析式为y=-

1

4

x2+

1

2

x+2；
将B（-2，0）坐标代入抛物线的解析式y=-

1

4

x2+

1

2

x+2可得-

1

4

×4+

1

2

×（-2）+2=0，
点B（-2，0）在该函数的图象上；

（2）抛物线y=-

1

4

x2+

1

2

x+2的对称轴为x=-

b

2a

=1，
∴D点坐标为D（1，0），CD=

5

，
∵点E在x轴上，
设E点坐标为E（x，0），
由题意可知AB=4+2=6，AC=2

5

，BC=2

2

，
①当△ABC∽△CDE时，∴

AB

CD

=

BC

DE

即

6

5

=

2 2

DE

，
解得DE=

10

3

，
∵D点坐标为（1，0），
∴E点坐标为（-

10

3

+1，0）．
②当△ABC∽△CED时，

AB

CE

=

BC

ED

，即

6

CE

=

2 2

DE

，∴

6

x2+4

=

2 2

|1-x|

，
解得，x=

9± 74

7

，
∴点E的坐标为（

9+ 74

7

，0），（

9- 74

7

，0）；
③当△ABC∽△DEC时，

AB

DE

=

BC

EC

，即

6

|1-x|

=

2 2

x2+4

，
解得，x=

-2± 277

7

，∴点E的坐标为（

-2+ 277

7

，0），（

-2- 277

7

，0）．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和等腰三角形的性质及三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．