Question

如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，∠CAB的角平分线AE交BC于点D，交半圆O于点E．若AB=10，tan∠CAB=

3

4

，求线段BC和CD的长．

Answer 1

分析：根据圆周角定理及三角函数可求得AC与BC的长，再根据角的平分线的性质及相似三角形的判定得到△DBF∽△ABC．由相似三角形的对应边成比例即可求得CD的值．

解答：解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°．
∵tan∠CAB=

3

4

，
∴

BC

AC

=

3

4

．
设AC=4k，BC=3k，
∵AC²+BC²=AB²，AB=10，
∴（4k）²+（3k）²=100．
∴k₁=2，k₂=-2（舍去）．
∴AC=8，BC=6．
过点D作DF⊥AB于F，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴CD=DF．
∵∠DFB=∠ACB=90°，∠DBF=∠ABC，
∴△DBF∽△ABC．
∴

DB

AB

=

DF

AC

．
即

6-CD

10

=

CD

8

．
∴CD=

8

3

．

点评：此题主要考查圆周角定理，角直角三角形及相似三角形的判定方法等知识的综合运用．