Question

【题目】如图，在四边形中，，为的中点，连接，且平分，延长交的延长线于点.

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）求证：是的平分线；

（4）探究和的面积间的数量关系，并写出探究过程.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析；（4）；详见解析

【解析】

（1）根据AAS证明，再由全等三角形的性质得到结论；

（2）先证明得到△ABF是等腰三角形，从而证明，再根据得到结论；

（3）先证明AE=EF,再结合△ABF是等腰三角形，根据三线合一得到结论；

（4）根据三线合一可得S△ABE=S△BEF，再根据S△BEF=S△BCE+S△CEF和得到结论．

（1）证明：∵，

∴，，

∵为的中点，

∴，

在和中

，

∴，

∴；

（2）证明：∵平分，

∴，

由（1）知，

∴，

∴△ABF是等腰三角形，

∴

由（1）知，

∴；

（3）证明：由（1）知，

∴，

由（2）知，

∴是等腰底边上的中线，

∴是的平分线；

（4）∵△ABF是等腰三角形，BE是中线，(已证)

∴S△ABE=S△BEF，

又∵S△BEF=S△BCE+S△CEF，(已证)，

∴S△BEF=S△BCE+S△ADE，

∴．