题目内容
【题目】已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线
交
轴于
、
两点(在轴负半轴上)，交
轴于点
，连接
，
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）
为直线
上方第一象限内一点，连接
、
，
，延长交轴于点
，设点的横坐标为
，点的横坐标为
，求与之间的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)
（3）把线段
沿直线翻折，得到线段
，
为第二象限内一点，连接
、
，
，
为线段
上一点，
于点
，射线
交线段
于点
，连接
交于
，交
于点
，连接
，若
，
，设直线与抛物线第一象限交点为
，求点坐标．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
（1，4）
【解析】
（1）根据抛物线解析式
可求得点C坐标，再根据
，可求得点A坐标，再将点A坐标代入解析式即可求得；
（2）如图，过点P作PH⊥x轴于H，过点B作BD⊥PR，证明∠PRB=∠PBR，则△PRB为等腰三角形，即可得到RH=HB，再代入各点横坐标即可求得关系式；
（3）如图，设
，则
，所以
，则E（﹣1，
），
由
，且BD为线段AB沿直线BC翻折所得，可知点D（3，4），求得
，
由FN⊥BE知
，则
，可求直线FG的解析式为：
，进而求得
，因为
，代入可求得
，则点G坐标为（3，2），所以直线AG的解析式为：
，直线BE的解析式为：
；再设点K（u，
），则
，
，由
，解得
，则K（
，
），直线BK的解析式为：
，由点M为直线BK与抛物线的交点，联立方程即可求得点M（1，4）．
解：（1）由抛物线可知，
点C（0，3），
∴OC=3，
∵，
∴OA=1，
∴A（﹣1，0），
将点A（﹣1，0）代入，
可求得：b=2，
∴抛物线的解析式为：
（2）如图，过点P作PH⊥x轴于H，过点B作BD⊥PR，
由（1）知抛物线的解析式为：，
∴可求得点B坐标为，（3，0），
∴OC=OB，
∴∠CBO=45°，
∵
，
∴∠PBC=∠DBC，
∵∠PBR=∠PBC＋∠CBO=45°＋∠PBC，∠DRB=90°－∠DBR，而∠DBR=∠CBO－∠DBO，
∴∠DRB=90°－∠CBO+∠DBO=45°＋∠DBO，
∴∠PRB=∠PBR，
∴△PRB为等腰三角形，RH=HB，
∵点
的横坐标为
，点
的横坐标为
∴
，
即；
（3）如图，
设，则，
∴，
∵
，
∴E（﹣1，），
∵，BD为线段AB沿直线BC翻折所得，
∴点D（3，4），
∴
，
∵FN⊥BE，
∴，
∴，
∴直线FG的解析式为：，
令
，则
（3，
），
∴
∵∠EHA=45°，
由直线的夹角公式得：，
∴
，
∴
，
化简得：
，
即
，
∵
，
∴，
∴G（3，2），
∴直线AG的解析式为：，
∴直线BE的解析式为：，
设点K（u，），
，
∴，，
由直线夹角公式得：,
即，
，
∴
，
化简得：
或
，
解得：
，
，
，
，
∵
，
∴，
∴K（，），
∴直线BK的解析式为：，
∵点M为直线BK与抛物线的交点，
∴联立
，
解得：
或（即为点B，舍去），
所以点M（1，4）．
