Question

【题目】已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交轴于、两点(在轴负半轴上)，交轴于点，连接，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）为直线上方第一象限内一点，连接、，，延长交轴于点，设点的横坐标为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)

（3）把线段沿直线翻折，得到线段，为第二象限内一点，连接、，，为线段上一点，于点，射线交线段于点，连接交于，交于点，连接，若，，设直线与抛物线第一象限交点为，求点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（1，4）

【解析】

（1）根据抛物线解析式可求得点C坐标，再根据，可求得点A坐标，再将点A坐标代入解析式即可求得；

（2）如图，过点P作PH⊥x轴于H，过点B作BD⊥PR，证明∠PRB=∠PBR，则△PRB为等腰三角形，即可得到RH=HB，再代入各点横坐标即可求得关系式；

（3）如图，设，则，所以，则E（﹣1，），

由，且BD为线段AB沿直线BC翻折所得，可知点D（3，4），求得，

由FN⊥BE知，则，可求直线FG的解析式为：，进而求得，因为，代入可求得，则点G坐标为（3，2），所以直线AG的解析式为：，直线BE的解析式为：；再设点K（u，），则，，由，解得，则K（，），直线BK的解析式为：，由点M为直线BK与抛物线的交点，联立方程即可求得点M（1，4）．

解：（1）由抛物线可知，

点C（0，3），

∴OC=3，

∵，

∴OA=1，

∴A（﹣1，0），

将点A（﹣1，0）代入，

可求得：b=2，

∴抛物线的解析式为：

（2）如图，过点P作PH⊥x轴于H，过点B作BD⊥PR，

由（1）知抛物线的解析式为：，

∴可求得点B坐标为，（3，0），

∴OC=OB，

∴∠CBO=45°，

∵，

∴∠PBC=∠DBC，

∵∠PBR=∠PBC＋∠CBO=45°＋∠PBC，∠DRB=90°－∠DBR，而∠DBR=∠CBO－∠DBO，

∴∠DRB=90°－∠CBO+∠DBO=45°＋∠DBO，

∴∠PRB=∠PBR，

∴△PRB为等腰三角形，RH=HB，

∵点的横坐标为，点的横坐标为

∴，

即；

（3）如图，

设，则，

∴，

∵，

∴E（﹣1，），

∵，BD为线段AB沿直线BC翻折所得，

∴点D（3，4），

∴，

∵FN⊥BE，

∴，

∴，

∴直线FG的解析式为：，

令，则（3，），

∴

∵∠EHA=45°，

由直线的夹角公式得：，

∴，

∴，

化简得：，

即，

∵，

∴，

∴G（3，2），

∴直线AG的解析式为：，

∴直线BE的解析式为：，

设点K（u，），，

∴，，

由直线夹角公式得：,

即，，

∴，

化简得：或，

解得：，，，，

∵，

∴，

∴K（，），

∴直线BK的解析式为：，

∵点M为直线BK与抛物线的交点，

∴联立，

解得：或（即为点B，舍去），

所以点M（1，4）．