Question

【题目】如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．

（1）求证：；

（2）当时（如图2），求的长；

（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF，此时BD=9．

【解析】

（1）利用等腰三角形的性质有∠B=∠ACB，然后根据∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B即可得出∠BAD=∠CDE，则结论可证；

（2）过点A作AM⊥BC于M，设，在中利用勾股定理求出k的值，然后利用等腰三角形三线合一求出BC的长度，然后证明△ABD∽△CBA，

则，由此可求出DB的长度，最后再利用平行线分线段成比例有，即可求出AE的长度；

（3）作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N，首先证明四边形AMHN为矩形，

则有∠MAN=90°，MH=AN，然后设，在中利用勾股定理求出k的值，然后利用等腰三角形三线合一求出BC的长度，然后证明△AFN∽△ADM，

利用相似三角形的性质可求出AN的长度，进而求出CH的长度，再根据等腰三角形三线合一求出CD的长度，最后利用BD=BC-CD即可得出答案．

（1）证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，

∴∠BAD=∠CDE，

∴△BAD∽△DCE．

（2）解：过点A作AM⊥BC于M．

∵，

∴设 ，

∴

解得或（舍去）

∵AB=AC，AM⊥BC，

∴BC=2BM=2×4k=16，

∵DE∥AB，

∴∠BAD=∠ADE，

∵∠ADE=∠B，∠B=∠ACB，

∴∠BAD=∠ACB，

∵∠ABD=∠CBA，

∴△ABD∽△CBA，

∴，

∴，

∵DE∥AB，

∴，

∴．

（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF．

理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．

∵FH⊥BC，AM⊥BC，AN⊥FH，

∴∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°，

∴四边形AMHN为矩形，

∴∠MAN=90°，MH=AN，

∵AN⊥FH，AM⊥BC，

∴∠ANF=90°=∠AMD，

∵∠DAF=90°=∠MAN，

∴∠NAF=∠MAD，

∴△AFN∽△ADM，

∴，

∴，

∴CH=CM-MH=CM-AN=8-=，

当DF=CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，

∵FH⊥DC，

∴CD=2CH=7，

∴BD=BC-CD=16-7=9，

∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF，此时BD=9．