Question

如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：

①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE²+PF²=PO²；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．

其中正确的结论有（　　）

A．

5个

B．

4个

C．

3个

D．

2个

Answer 1

考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质

分析：

依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．

解答：

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠DAC=45°．

∵在△APE和△AME中，

，

∴△APE≌△AME，故①正确；

∴PE=EM=PM，

同理，FP=FN=NP．

∵正方形ABCD中AC⊥BD，

又∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE

∴四边形PEOF是矩形．

∴PF=OE，

∴PE+PF=OA，

又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，

∴PM+PN=AC，故②正确；

∵四边形PEOF是矩形，

∴PE=OF，

在直角△OPF中，OF²+PF²=PO²，

∴PE²+PF²=PO²，故③正确．

∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误；

∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．

∴PM=PN，

又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，

∴AP=BP，即P时AB的中点．故⑤正确．

故选B．

点评：

本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键．