Question

【题目】如图,抛物线y=(x1)2+n与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,3)，点D与C关于抛物线的对称轴对称.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)点P是抛物线上的一点，当△ABP的面积是8，求出点P的坐标；

(3)过直线AD下方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AD交于点N，已知M点的横坐标是m，试用含m的式子表示MN的长及△ADM的面积S，并求当MN的长最大时s的值.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=(x1)2-4，点D的坐标为（2，-3）；（2）P点的坐标为（1+2，4）或（1-2，4）或（1，-4）；（3）MN=（-1＜m＜2）；S=（-1＜m＜2），当MN最长为时，S的值为.

【解析】

（1）把C(0,3)代入y=(x1)2+n即可求解出n，得到抛物线解析式，再根据对称轴得到点D的坐标；

（2）令y=0，解出A,B的坐标，得到AB的长，设P（x,y），根据△ABP的面积是8求出y的值，再代入解析式即可求出P点坐标；

（3）根据A、D坐标求出直线AD的解析式，根据MN∥y轴，可设M[m, (m1)2-4],N(m,-m-1)，根据MN=（-1＜m＜2），再根据二次函数最值即可求出MN的最大值，再求出此时的S.

（1）C(0,3)代入y=(x1)2+n

即-3=(01)2+n

解得n=-4，

∴抛物线的解析式为y=(x1)2-4，

∴抛物线的对称轴为x=1,

∵点D与C关于抛物线的对称轴对称.

∴点D的坐标为（2，-3）；

（2）由y=(x1)2-4=0解得x1=-1,x2=3,

∵A在B的左侧

∴A（-1,0），B（3,0）

∴AB=AO+BO=4，

设P（x,y），

∵S△ABP==8

∴=8

∴y=±4，

当(x1)2-4=4时，x1=1+2，x2=1-2，

∴P（1+2，4）或（1-2，4）

当(x1)2-4=-4时，x1=x2=1，

∴P（1，-4）

综上，P点的坐标为（1+2，4）或（1-2，4）或（1，-4）；

（3）设AD的直线为y=kx+b，

把A（-1，0）、D(2,-3)代入得

解得

∴y=-x-1

∵MN∥y轴，且点M的横坐标为m,

∴M[m, (m1)2-4],N(m,-m-1)，

∴MN=（-1＜m＜2）

化简得MN=（-1＜m＜2）

当m=-=时，MN最大，最大值为=，

S△ADM= S△AMN+S△DMN==()=

当m=时，S△ADM==

故MN=（-1＜m＜2）；

S=（-1＜m＜2），

当MN最长时，S的值为.