Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF=5，∠B的正切值为
（1）求证：△BDF∽△DCF；
（2）求BC的长．

Answer 1

（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵E是AC的中点，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠ACB=90°，∠BDC=90°
∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠ECD=∠B，
∴∠B=∠FDC，
又∵∠F=∠F，
∴△BDF∽△DCF；

（2）解：设DE=x，则AC=2DE=2x，DF=DE+EF=x+5．
∵△BDF∽△DCF，
∴===tan∠B=，
∴BF=2DF=2（x+5），CF=DF=（x+5），
∴BC=BF-CF=（x+5），
在直角△ABC中，∵tan∠B==，
∴BC=2AC，即（x+5）=2×2x，
解得x=3
∴BC=（3+5）=12．
分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根据∠F=∠F证△FBD∽△FDC，即可；
（2）设DE=x，则AC=2x，DF=x+5．由（1）可知△BDF∽△DCF，根据相似三角形对应边的比相等及正切函数的定义得到===tan∠B=，则BF=2（x+5），CF=（x+5），BC=BF-CF=（x+5），然后在直角△ABC中，根据tan∠B==，得到方程（x+5）=2×2x，解方程求得x=3，进而得到BC=12．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，难度适中，解题的关键是由相似三角形的性质得到比例式．