Question

如图，已知AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线MA，P为直线MA上一动点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P，交⊙O于点C，连接PC、OP、BC．

（1）知识探究（如图1）：

①判断直线PC与⊙O的位置关系，请证明你的结论；

②判断直线OP与BC的位置关系，请证明你的结论．

（2）知识运用（如图2）：

当PA＞OA时，直线PC交AB的延长线于点D，若BD=2AB，求tan∠ABC的值．

Answer 1

（1）①PC与⊙O相切．

证明：如图1，连接OC，

在△PAO和△PCO中，

，

∴△PAO≌△PCO，

∴∠PAO=∠PCO，

∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

∴∠PAO=∠PCO=90°，

∴PC与⊙O相切．

②OP∥BC．

证明：∵△PAO≌△PCO，

∴∠POA=∠POC，

∴∠B=∠POA，

∴OP∥BC．

（2）解：如图2，

∵BD=2AB，

∴BD=4OB，AD=6OA，

∴，

∵OP∥BC，

∴，

∴PD=5PC，

设PA=PC=R，OA=r，

∴AD=6r，PD=5R，

∵PA²+AD²=PD²，

∴R²+（6r）²=（5R）²

解得：R=r，

∵tan∠ABC=tan∠POA=，

∴tan∠ABC═==．