题目内容

（2013•宁德质检）已知直线y=kx+3-k，无论k取哪一个实数，所得的直线总经过一个定点，如图，当k=
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时，所得的直线分别交x轴、y轴于A，B两点，
（1）求A，B两点的坐标；
（2）对于直线y=kx+3-k，当k=1时，所得的直线与直线AB交于点P，以点P为顶点的抛物线y=a（x-1）2+b经过点A．求出点P的坐标及抛物线的表达式；
（3）设k≠
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时，直线y=kx+3-k与（2）中抛物线的一个交点为点E，求当 k为何值时，在抛物线的对称轴上存在一点D，使得四边形ABED是平行四边形．
分析：（1）把k=
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代入y=kx+3-k，即可得到直线的解析式，再分别令x=0和y=0即可求出A，B两点的坐标；
（2）当k=1时，则直线的解析式为y=x+2，联立两直线的解析式可求出P的坐标，把A（-1，0）代入即可求出抛物线的表达式；
（3）设对称轴交x轴于C，点E的坐标为（x，y），过E作EF⊥y轴于F，若四边形ABED是平行四边形，则△EFB≌△ACD，得EF=AC=2，所以x=2，把x=2代入抛物线的解析式可求出y的值，又因为直线y=kx+3-k过点E，进而求出k的值．
解答：解：（1）当k=
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时，直线y=
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x+
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，
把x=0代入y=
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x+
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2
得y=
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，
∴B（0，
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），
把y=0代入y=
3
2
x+
3
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得x=-1，
∴A（-1，0）；
（2）当k=1，直线y=x+2，
由
y=x+2
y=
3
2
x+
3
2
，解得
x=1
y=3
，
∴P（1，3）
∵抛物线y=a（x-1）2+b的顶点坐标P（1，3），
∴b=3，
把A（-1，0）代入抛物线y=a（x-1）2+3解得a=-
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，
∴抛物线的表达式是y=-
3
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（x-1）2+3；
（3）把P（1，3）代入y=kx+3-k，左边=右边，
∴直线y=kx+3-k经过的定点为P（1，3），
∵P在直线AB上，由题意可知E显然不与P重合，如图：由（2）得抛物线的对称轴为x=1，
设对称轴交x轴于C，点E的坐标为（x，y），过E作EF⊥y轴于F，
若四边形ABED是平行四边形，则△EFB≌△ACD，
得EF=AC=2，
∴x=2，
将x=2代入抛物线的表达式得y=
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，
∴E（2，
9
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），
又∵直线y=kx+3-k过点E，
∴
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=2k+3-k，
解得k=-
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，
答：当k=-
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4
时，在抛物线的对称轴上存在一点D，使得四边形ABED是平行四边形．
点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数和坐标轴的交点，解二元一次方程组，轴对称的性质等知识点的连接和掌握，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，综合性强．
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