题目内容
已知：如图1，在△ABC中，AB=AC=5，AD为底边BC上的高，且AD=3．将△ACD沿箭头所示的方向平移，得到△A'CD'（如图2），A'D'交AB于E，A'C分别交AB、AD 于G、F，以D'D为直径作⊙O，设BD'的长为x，⊙O的面积为 y．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围（不考虑端点）；
（2）当BD'的长为多少时，⊙O的面积与△ABD的面积相等？（π取3，结果精确到 0.1）
（3）连接EF，求EF与⊙O 相切时x的值．
【答案】分析：（1）首先表示出圆的半径，才能表示出面积，（2）求出△ABD的面积，在表示出⊙O的面积，即可求出．
（3）证明四边形ED′DF是矩形，再利用三角形相似求出．
解答：
解：（1）∵AB=AC=5，AD为底边BC上的高，且AD=3．
∴BD=4，设BD'的长为x，⊙O的面积为y，
∴y=π
=π（2-x）2（0≤x≤4）；
（2）∵S△ABD=
×3×4=6，y=π（2-x）2=3（2-x）2，
∴（2-x）2=2，
∴解得：x=2
，
BD′=2
时，⊙O的面积与△ABD的面积相等；
（3）连接EF，
∵△BD′E≌△CDF，
∴ED′=FD，ED′∥FD，∠FDC=90°，
∴四边形ED′DF是矩形，
∴DD′=EF，ED′=
DD′，
∵△BED′∽△BAD，
∴
，
∴
，
解得：x=
，
EF与⊙O 相切时x的值为
．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的判定和求函数关系式，题目难度不大，非常典型．
（3）证明四边形ED′DF是矩形，再利用三角形相似求出．
解答：
解：（1）∵AB=AC=5，AD为底边BC上的高，且AD=3．∴BD=4，设BD'的长为x，⊙O的面积为y，
∴y=π
=π（2-x）2（0≤x≤4）；（2）∵S△ABD=
×3×4=6，y=π（2-x）2=3（2-x）2，∴（2-x）2=2，
∴解得：x=2
，BD′=2
时，⊙O的面积与△ABD的面积相等；（3）连接EF，
∵△BD′E≌△CDF，
∴ED′=FD，ED′∥FD，∠FDC=90°，
∴四边形ED′DF是矩形，
∴DD′=EF，ED′=
DD′，∵△BED′∽△BAD，
∴
，∴
，解得：x=
，EF与⊙O 相切时x的值为
．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的判定和求函数关系式，题目难度不大，非常典型．
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