Question

在△ABC中，D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，以DE为折线，将△ADE翻折，设所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积为y．
（1）如图（甲），若∠C=90°，AB=10，BC=6，

AD

AB

=

1

3

，则y的值为

 

；
（2）如图（乙），若AB=AC=10，BC=12，D为AB中点，则y的值为

 

；
（3）若∠B=30°，AB=10，BC=12，设AD=x．
①求y与x的函数解析式；
②y是否有最大值？若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据已知条件得出AC的长，再根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，再根据面积之比等于相似比的平方即可求出结果．
（2）本题需先根据已知条件得出BC边上的高的值和S_△ABC的值，再根据D为AB中点和DE∥BC，即可得出△ADE∽△ABC，最后根据面积之比等于相似比的平方即可求出结果；
（3）本题需先作AH⊥BC于点H，根据已知条件得出AH和S_△ABC的值，再分两种情况0＜x≤5时和当5＜x＜10进行讨论，分别求出S△A′DE和S△MA′N的值，即可求出y的最大值．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∴S_△ABC=

1

2

×6×8=24，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

S△ADE

S△ABC

=(

AD

AB

)2，
∴

S△ADE

24

=

1

9

，
∵S_△ADE=

8

3

，
∴y=

8

3

；

（2）∵AB=AC=10，BC=12，
∴BC边上的高为8，
∴S_△ABC=

1

2

×12×8=48，
∵D为AB的中点，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，

AD

AB

=

1

2

，
∴

S△ADE

S△ABC

=(

AD

AB

)2，
∴

S△ADE

48

=

1

4

，
∴S_△ADE=12，
∴y=12；

（3）如图，作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，
∵∠B=30°，AB=10，BC=12，
∴AH=5，S_△ABC=

1

2

BC•AH=30．
当点A′落在BC上时，点D是AB的中点，即x=5．
故分以下两种情况讨论：
①当0＜x≤5时，如图，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴

S△ADE

S△ABC

=(

AD

AB

)2=(

x

10

)2=

x2

100

．
∴S△A′DE=S△ADE=

x2

100

×30=

3

10

x2．即y=

3

10

x2．
∴当x=5时，y最大=

3

10

×52=

15

2

．
②当5＜x＜10时，如上图，设DA′、EA′分别交BC于M、N．
由折叠知，△A′DE≌△ADE，
∴DA′=DA=x，∠1=∠2．
∵DE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3．
∴∠B=∠3．
∴DM=DB=10-x．
∴MA′=x-（10-x）=2x-10．
由①同理可得S△DA′E=

3

10

x2．又△MA′N∽△DA′E，
∴

S△MA′N

S△DA′E

=(

2x-10

x

)2．
∴S△MA′N=

3

10

x2•(

2x-10

x

)2=

6

5

(x-5)2．
∴y=S_△DA'E-S_△MA'N=-

9

10

x2+12x-30=-

9

10

(x-

20

3

)2+10．
∵二次项系数-

9

10

＜0，且当x=

20

3

时，满足5＜x＜10，
∴y_最大=10．
综上所述，当x=

20

3

时，y值最大，最大值是10．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有函数解析式的求法和求y的最大值，在求有关最大值问题时要注意分析题意分情况讨论结果．