Question

19、如图，向?ABCD的外侧画正方形ADGH和正方形DCEF，连接BH、BE和HE，
①试猜想△BHE的形状为

等腰直角

三角形；
②向?ABCD的内侧画正方形ADGH和正方形DCEF，连接BH、BE和HE，请画出图形．判断△BHE的形状，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）是等腰直角三角形；
（2）要证△HBE是等腰直角三角形，需要证明△HAB≌△BCE，利用正方形的性质，以及平行四边形的性质，可证出全等，再利用全等三角形的性质，以及平行四边形和正方形角的有关性质，可证出∠HBE=90°．

解答：解：（本题8分）
（1）等腰直角三角形（3分）

（2）作图如右图（2分）△BHE为等腰直角三角形．（3分）

解：∵四边形ADGH是正方形，
∴AH=AD，∠HAB=90°-∠DAB．
同理，CD=CE，∠BCE=90°-∠DCB．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，BC=AD，∠DCB=∠DAB．
∴AH=BC，∠HAB=∠BCE，AB=CE．
∴△HAB≌△BCE．
∴BH=BE，∠CEB=∠ABH．
∠HBE=360°-∠ABH-∠ABC-∠CBE=360°-∠CEB-∠CBE-[180°-（90°-∠BCE）]
=360°-（∠CEB+∠CBE+∠BCE）-90°=360°-180°-90°=90°．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．