Question

已知△ABC，
（1）如图1，若D点是△ABC内任一点，BD、CD分别为∠ABC、∠ACB的角平分线． 则∠D、∠A的关系为______．
（2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．BD、CD分别为∠FBC、∠ECB的角平分线． 则∠D、∠A的关系为______．
（3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示．BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线． 则∠D、∠A的关系为______．

Answer 1

解：（1）：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，
∴∠BDC=90°-∠A，即∠D=90°-∠A．

（2）：∵BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线
∴∠DBC=∠EBC，∠BCD=∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角
∴∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A
∴∠DBC+∠BCD=（∠EBC+∠BCD）=（180°+∠A）=90°+∠A，
在△DBC中∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）=180°-（90°+∠A）=90°-∠A，即∠D=90°-∠A．

（3）∵BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线，
∴∠1=∠DBC=∠ABC，∠2=∠DCE=（∠A+∠ABC），
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠A+∠ABC，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠D=∠DCE-∠DBC
=∠DCE-∠1
=∠ACE-∠ABC
=（∠A+∠ABC）-∠ABC
=∠A．
故答案为：∠D=90°-∠A；∠D=90°-∠A；∠D=∠A．
分析：（1）先根据角平分线的性质求出∠DBC、∠DCB与∠A的关系，再根据三角形内角和定理求解即可；
（2）先根据BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线可知∠DBC=∠EBC，∠BCD=∠BCF，再由∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角得出∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A，故∠DBC+∠BCD=（∠EBC+∠BCD）=（180°+∠A）=90°+∠A，根据在△DBC中∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）即可得出结论；
（3）先根据BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线可知∠1=∠DBC=∠ABC，∠2=∠DCE，再由∠DCE是△BCD的外角得出∠DCE=∠D+∠DBE，再根据∠ACE是△ABC的外角即可得出∠ACE=∠A+∠ABC由此即可得出结论．
点评：本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．