Question

我们把分子为1的分数叫理想分数，如：

1

2

，

1

3

，

1

4

，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如：

1

2

=

1

3

+

1

6

；

1

3

=

1

4

+

1

12

；

1

4

=

1

5

+

1

20

；…，根据对上述式子的观察，请你思考：
（1）如果理想分数

1

5

=

1

6

+

1

a

，

1

9

=

1

b

+

1

90

，那么a=

30

，b=

10

；
如果理想分数

1

7

=

1

x

-

1

42

，

1

12

=

1

11

-

1

y

，那么x=

6

，y=

132

；
（2）运用你观察到的规律计算：（要写过程）
①

1

6

+

1

12

+

1

20

+

1

30

+

1

42

+

1

56

； ②1-(

1

2

+

1

3

+

1

7

+

1

43

)；
（3）
①如果理想分数

1

n

=

1

c

+

1

d

（n是不小于2的正整数），那么c+d=

（n+1）²

（用含n的式子表示）；
②如果理想分数

1

m

=

1

e

-

1

f

（m是不小于3的正整数，m＜f），那么e+f=

m²-1

（用含m的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）利用分数的加减运算法则得出即可；
（2）①利用

1

6

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3

-

1

4

…进而求出即可；
②直接去括号，利用有理数的加减运算法则得出即可．
（3）①利用（1）中所求得出规律进而求出即可；
②利用（1）中所求得出规律进而求出即可．

解答：解：（1）∵分数

1

5

=

1

6

+

1

a

，

1

9

=

1

b

+

1

90

，
∴a=30，b=10；
∵

1

7

=

1

x

-

1

42

，

1

12

=

1

11

-

1

y

，
∴x=6，y=132；
故答案为：30，10；6，132；

（2）运用你观察到的规律计算：（要写过程）
①

1

6

+

1

12

+

1

20

+

1

30

+

1

42

+

1

56

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+

1

6

-

1

7

+

1

7

-

1

8

=

1

2

-

1

8

=

3

8

，
②1-(

1

2

+

1

3

+

1

7

+

1

43

)
=1-

1

2

-

1

3

-

1

7

-

1

43

=

1

2

-

1

3

-

1

7

-

1

43

=

1

6

-

1

7

-

1

43

=

1

42

-

1

43

=

1

1806

，

（3）①∵

1

5

=

1

6

+

1

30

，

1

9

=

1

10

+

1

90

，

1

n

=

1

c

+

1

d

，
∴c+d=（n+1）²；
故答案为：（n+1）²；

②∵

1

7

=

1

x

-

1

42

，

1

12

=

1

11

-

1

y

，x=6，y=132，

1

m

=

1

e

-

1

f

，
∴e+f=m²-1．
故答案为：m²-1．

点评：此题主要考查了数字变化规律以及新概念问题，根据已知得出数字变化规律是解题关键．