Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．
（图文不相符）

Answer 1

解：（1）二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），
∴，解得。
∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x²+6x+8。
（2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。∴∠DEF=∠ODA。
∴△EDF∽△DAO。∴。
∵，∴。
∵OD=t，∴，∴EF=。
同理，∴DF=2，∴OF=t﹣2。
（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x²+6x+8，∴C（0，8），OC=8。
如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．

∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）。
在△CAG与△OCA中，
∵∠OAC=∠GCA，AC=CA，∠ECA=∠OAC，
∴△CAG≌△OCA（ASA）。∴CG=AO=4，AG=OC=8。
如图，过E点作EM⊥x轴于点M，
则在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+，
由勾股定理得： 。
在Rt△AEG中，由勾股定理得：。
在Rt△ECF中，EF=，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=4+
由勾股定理得：EF²+CF²=CE²，即。
解得t₁=10（不合题意，舍去），t₂=6。
∴t=6。

解析