题目内容

如图1，抛物线C₁：y=-x²+4x-2与x轴交于A、B，直线l：y=- $数学公式$ x+b分别交x轴、y轴于S点和C点，抛物线C₁的顶点E在直线l上．
（1）求直线l的解析式；
（2）如图2，将抛物线C₁沿射线ES的方向平移得到抛物线C₂，抛物线C₂的顶点F在直线l上，并交x轴于M、N两点，且tan∠EAB= $数学公式$ •tan∠FNM，求抛物线C₁平移的距离；
（3）将抛物线C₂沿水平方向平移得到抛物线C₃，抛物线C₃与x轴交于P、G两点（点P在点G的左侧），使得△PEF为直角三角形，求抛物线C₃的解析式．

解：（1）∵抛物线C₁：y=-x²+4x-2=-（x-2）²+2，
∴顶点E（2，2），代入直线l的解析式后，得：
- $\text{[math]}$ ×2+b=2，b=3
∴直线l：y=- $\text{[math]}$ x+3．

（2）∵顶点F在直线l上，
∴可以设顶点F（m，- $\text{[math]}$ m+3），
∴抛物线C₂可表示为 y=-（x-m）²- $\text{[math]}$ m+3；
∵A（2- $\text{[math]}$ ，0）、B（2+ $\text{[math]}$ ，0），E（2，2）
∴tan∠EAB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∵tan∠EAB= $\text{[math]}$ •tan∠FNM，∴tan∠FNM=1，∠FNM=45°
∴ON=m+（- $\text{[math]}$ m+3）= $\text{[math]}$ m+3，即 N（ $\text{[math]}$ m+3，0）
代入y=-（x-m）²- $\text{[math]}$ m+3中，得 m=4，即 F（4，1）；
∴EF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即抛物线C₁平移的距离EF= $\text{[math]}$ ．

（3）由（2）知 C₂：y=-（x-4）²+1，∴M（3，0）、N（5，0）；
∵将抛物线C₂沿水平方向平移得到抛物线C₃，∴PG=MN=2，
设P（p，0），则Q（p+2，0），抛物线C₃顶点（p+1，1）、抛物线C₃：y=-（x-p-1）²+1；
∵E（2，2）、F（4，1），
∴PE²=（p-2）²+2²=p²-4p+8；PF²=（p-4）²+1²=p²-8p+17，EF²=5；
①当∠PEF=90°时，p²-4p+8+5=p²-8p+17，∴p=1，此时C₃为 y=-（x-2）²+1；
②当∠PFE=90°时，p²-8p+17+5=p²-4p+8，∴p= $\text{[math]}$ ，此时C₃为 y=-（x- $\text{[math]}$ ）²+1；
③当∠EPF=90°时，p²-8p+17+p²-4p+8=5，即 p²-6p+10=0，△＜0，此时C₃不存在；
∴抛物线C₃的解析式为 y=-（x-2）²+1或y=-（x- $\text{[math]}$ ）²+1．
分析：（1）利用配方法能得到抛物线C₁的顶点坐标，代入直线l的解析式后即可得解．
（2）由于抛物线C₂是由抛物线C₁沿射线CS平移所得，所以C₂的顶点F仍在直线l上，且抛物线C₂的解析式中二次项系数不变（代表的是抛物线的开口方向和大小），首先根据点E的坐标求出tan∠EAM的值，代入题干给出的关系式后可得tan∠FNM的值，然后根据直线l的解析式设出点F的坐标，进而由tan∠FNM的值表示出点M或点N的坐标，再代入抛物线C₂的解析式中后即可得到点F的坐标，E、F两点坐标已知，其距离可求．
（3）抛物线C₂沿水平方向平移时，与x轴交点间的距离不变，顶点纵坐标不变，可先设出点P、G以及C₃顶点的坐标，那么线段EF、EP、FP的长度表达式可得，若△PEF是直角三角形，那么这三边的长必满足勾股定理，然后分点E、F、P分别是直角顶点列出等式求解．
点评：此题主要考查了函数解析式的确定、函数图象的平移、解直角三角形的应用以及直角三角形的判定等知识；题（3）中，给出的直角三角形并没有明确说明它的直角顶点，因此一定要注意进行分类讨论．