Question

5位数n，满足以下4个条件：
（1）n是回文数（数字逆排仍等于自身的正整数称为回文数，例如33，252，10601）；
（2）n是完全平方数；
（3）n的各位数字之和k也是完全平方数；
（4）k是2位数，k的2位数字之和r也是完全平方数．那么，n=

69696

．

Answer 1

分析：首先通过以k也是完全平方数且是2位数，k的2位数字之和r也是完全平方数，且有隐含条件k≤9×5=45，确定k的值．进而根据k的2位数字之和r也是完全平方数，进一步缩小确定a+b的取值．再根据n是完全平方数验证正确的5位数n．

解答：解：首先，n是5位数，n的各位数字和k≤45，k是2位数，k又是完全平方数，只可能k=16、25或36；
但k的2位数字和r也是完全平方数，唯有k=36，r=9
∵n是5位数，n的各位数字和k≤45，k是2位数，k又是完全平方数，
∴只可能是k=16、25或36；
又∵k的2位数字和r也是完全平方数，
∴只能是k=36，r=9
故设n=abcda，则有36=a+b+c+b+a?36=2a+2b+c（其中1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9），
∴36≥2（a+b）=36-c≥27，
∴18≥a+b≥14，
又∵n是完全平方数，
∴只可能ba=89，69或98；相应的c=2，6，6，
检查89289，69696和966669，发现唯有n=69696满足所有条件．（注：69696=264²）
故答案为69696．

点评：本题考查完全平方数．做为竞赛题目一点不为过，考查学生的发散思维能力；解决本题以k也是完全平方数且是2位数，k的2位数字之和r也是完全平方数，且有隐含条件k≤9×5=45做为本题的突破口．