Question

如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．
（1）求证：DF=BE；
（2）若∠BEF=105°，且CF=2，求△DEF的面积．

Answer 1

分析：（1）由在正方形ABCD中，CE=CF，利用SAS即可判定△DCF≌△BCE，即可证得DF=BE；
（2）由CE=CF，可知△CEF是等腰直角三角形，即可得∠CEF=45°，即可得∠BEC=60°，又由CF=2，在Rt△BCE中，由三角函数，即可求得BC的长，继而可求得DE的长，然后利用三角形面积公式，即可求得△DEF的面积．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠ECB=∠FCD=90°，
在△DCF和△BCE中，

DC=BD ∠FCD=∠ECB CF=CE

，
∴△DCF≌△BCE（SAS），
∴DF=BE；

（2）解：∵CE=CF，∠ECF=90°，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∵∠BEF=105°，
∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=60°，
∵CE=CF=2，
∴BC=CE•tan∠BEC=2

3

，
∴DC=BC=2

3

，
∴DE=DC-CE=2

3

-2，
∴S_△DEF=

1

2

DE•CF=

1

2

×（2

3

-2）×2=2

3

-2．

点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．