Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点C．

（1）求点C的坐标．

（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．

（3）在直线AB上是否存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）(4，4)；（2）(4，0)或(8，0) 或(，0) 或(，0) ；（3）存在，理由见解析，M（8，4）或（0，12）

【解析】

（1）联立两直线解析式成方程组，解方程组即可得出点C的坐标；

（2）分OC=PC，OC=OP，PC=OP三种情况进行讨论；

（3）分两种情况讨论：当M在x轴下方时；当M在x轴上方时.把△MOC的面积是△AOC面积的2倍的数量关系转化为△MOA的面积与△AOC面积的数量关系即可求解.

解： (1)联立两直线解析式成方程组，得：，

解得：，

∴点C的坐标为(4，4)．

(2) 如图， 分三种情况讨论：

OC为腰，当OC=P1C时，
∵C（4，4），
∴P1（8，0）；
OC为腰，当OC=OP2= OP3时，
∵C（4，4），
∴OC=，

，；

当P4C=OP4时，设P（x，0），
则x= ，

解得x=4，
∴P4（4，0）．
综上所述，P点坐标为P1（8，0），P2（，0），，P4（4，0）．

（3）当y=0时，有0=2x+12，

解得：x=6，

∴点A的坐标为(6，0)，

∴OA=6，

∴S△OAC=× 6× 4=12．

设M（x，y），当M在x轴下方时△MOC的面积是△AOC面积的2倍，

∴△MOA的面积等于△AOC的面积，，

∴，

∴y=4，

∴，

∴x=8，

∴M（8，4）

当M在x轴上方时△MOC的面积是△AOC面积的2倍，

∴△MOA的面积等于△AOC的面积的3倍，

∴

∴y=12时，

∴，

∴x=0，

∴M（0，12）

综上所述，M（8，4）或（0，12）.