Question

（2013•怀集县二模）（1）根据两点坐标，构造直角三角形，求出两直角边的长，然后再求斜边的长．

两点坐标	构造 直角三角形	一直角边长	另一直角 边长	斜边长
A（1，-2） B（4，2）	RT△ABC	AC=4-1=3	BC=2-（-2）	AB= (4-1)2+(2-(-2))2 =5
M（-4，2） N（1，-3）	RT△ MPN	PN=1-（-4）=5	PM=2-（-3）=5	MN= [1-(-4)]2+[2-(-3)]2 =5 2

（2）观察表格中的关系，探究任意两点坐标P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）与P₁、P₂之间的距离P₁P₂有什么关系？并证明你的结论．
（3）求函数y=

(x-1)2+4

+

(x-4)2+4

的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用点的坐标得出线段长度即可；
（2）利用已知得出P₁P=x₂-x₁，P₂P=y₂-y₁，进而利用勾股定理得出公式即可；
（3）设x轴上有点P，利用点之间距离公式进而得出答案．

解答：解：（1）如图所示：

两点坐标	构造 直角三角形	一直角边长	另一直角 边长	斜边长
A（1，-2） B（4，2）	RT△ABC	AC=4-1=3	BC=2-（-2）	AB= (4-1)2+(2-(-2))2 =5
M（-4，2） N（1，-3）	RT△MPN	PN=1-（-4）=5	PM=2-（-3）=5	MN= [1-(-4)]2+[2-(-3)]2 =5 2

（2）P₁P₂=

(x1-x2)2+(y2-y1)2

；
证明：构造直角三角形P₁P₂P，∠P=90°，
则P₁P=x₂-x₁，P₂P=y₂-y₁，
根据勾股定理，得P₁P₂=

(x1-x2)2+(y2-y1)2

；

（3）设x轴上有点P
因为y=

(x-1)2+4

+

(x-4)2+4

=

(x-1)2+[0-(-2)]2

+

(x-4)2+(0-2)2

=PA+PB≥AB
=

(4-1)2+[2-(-2)]2

=5，
所以函数y=

(x-1)2+4

+

(x-4)2+4

的最小值是5．

点评：此题主要考查了坐标图形的性质以及两点之间的距离公式，利用数形结合得出是解题关键．