题目内容
【题目】有三个函数，对于同一个自变量x，对应的函数值分别为
，若恰好有
，则称y为
的“中值函数”.
（1）若
的图像为直线，
的图像是抛物线，则它们的中值函数的图像为（ ）
A.直线 B.抛物线 C.双曲线 D.以上答案均错
（2）若
、它们的中值函数为
，
①若点P在、和它们的中值函数图像上，则点P的坐标为_________.
②在如图中，画出上述中值函数的大致图象.并根据图象写出这个中值函数的两条性质；
性质1：_______________________________；
性质2：_______________________________；
③利用中值函数的性质说明：面积为1的长方形，当该长方形长与宽相等时，周长最小.
【答案】（1）B；（2）①（1，2），②性质1：当x=1时，中值函数y的值最小为2；
性质2：当0<x<1时，中值函数y随x的增大而减小；③见详解
【解析】
（1）根据题意设
，则根据
可判断y的函数图像；
（2）①根据点P在
、
和它们的中值函数图像上，联立方程即可求出点P的坐标；②根据中值函数解析式画出函数图象，根据图象观察即可得出性质即可；③设长为x，则宽为
，则周长
，根据中值函数性质即可求解.
解：（1）依题意设
则
∴y依然是二次函数则中值函数的图像为抛物线
故选B；
（2）①
点P在、和它们的中值函数图像上
∴
解得
∴
则点P的坐标为（1，2）；
②根据函数解析式画函数图象如下：
性质1：当x=1时，中值函数y的值最小为2；
性质2：当0<x<1时，中值函数y随x的增大而减小；
（3）设长为x，则宽为，则周长
由中值函数的定义可知，c为
的中值函数
由性质可知，当
即
时，c取得最小值
∴
∴
（-1舍去）
即改长方形为正方形时，周长最小.
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